已知 第一象限内，双曲线$x^2-y^2=2$上有一点$P(x_0,y_0)$，双曲线左右焦点分别为$F_1$和$F_2$证明： $$ x_0 = \frac{|PF_1|+|PF_2|}{|PF_1|-|PF_2|} $$ 此外，假设$PF_2$延长线交双曲线于$Q$点，且 $$ \vec{PF_2} = \lambda \vec{F_2}Q $$ $N$在$PF_1$上并且$PN=PF_2$，求 $$ S_{\triangle PQF_1} / S_{\triangle PNF_2} + \lambda $$ 的最小值。 ...
已知 四面体ABCD满足，角BAC=角ACD、角ABD=角BDC，证明： $$ AB=CD $$ 一定成立，且 $$ AC=BD $$ 未必成立。 ...
已知 过$P(a,b)$的直线$l$和抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$相交于$A,B$两点，如果在抛物线上存在一点$C$满足 $$ CA \perp CB $$ 对任意的直线$l$恒成立，求P点坐标满足的条件。 ...
已知 抛物线$\Gamma$方程为$y^2=4x$，焦点为$F$。直线$l$过焦点交$\Gamma$于A、B两点。C是抛物线上动点，$AC$、$BC$分别交抛物线的准线于D、E。 求证： $$ \overrightarrow{OE} \cdot \overrightarrow{OD} = -3 $$ 为定值。 ...
已知 椭圆方程： $$ 4x^2+y^2=1 $$ $P,Q$是椭圆上动点，$O$是坐标原点，并且$OP\perp OQ$。 证明：$O$到$PQ$距离为定值。 ...
已知 本题来自2025上海春考 半椭圆$\Gamma$: $$ \frac{x^2}{4}+y^2=1\quad (y\ge 0) $$ 上有两个动点$P,Q$，点$T$的坐标是$(t,0)$。 当$\triangle PQT$是以$T$为直角顶点的等腰直角三角形时，求实数$t$的取值范围。 ...
已知 椭圆$\Gamma$ $$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$ 已知$A(-a,0)$、$B(a,0)$,现有一过焦点$F(c,0)$的直线$l$交$\Gamma$于点$P$、$Q$。 证明存在常数$\lambda$使得： $$ k_{PA}+\lambda k_{QB}=0 $$ ...
已知 抛物线$\Gamma$方程为： $$ y^2 = 4x $$ 过焦点$F$的直线$l$交$\Gamma$于$A,B$两点，满足$|AF|=2|BF|$ ...
已知 $$ x+y+z = 5 $$ 和 $$ xy+yz+xz = 3 $$ 求$z$的范围 ...