已知
$f(x)=xe^{-x}$以及$g(x)=x^{-1}\ln x$
如果$y=a$和$y=f(x)$以及$y=g(x)$共有三个交点$(x_1,a), (x_2,a), (x_3,a)$ 且$ x_1 \lt x_2 \lt x_3 $ 证明： $$ x^2_2 = x_1x_3 $$
题解
图像很容易通过导数绘制。
不难证明，$f$和$g$的图像在$(1,e)$之间有唯一的交点$B$，实际上这个交点就是$(x_2,a)$。
也就是说： $$ \frac{x_1}{e^{x_1}} = \frac{x_2}{e^{x_2}} = a = \frac{\ln x_2}{x_2}= \frac{\ln x_3}{x_3} $$
注意到： $$ a ={\color{red} \frac{x_2}{e^{x_2}} = \frac{\ln e^{x_2}}{e^{x_2}}} $$ 也就是说： $$ e^{x_2} $$ 是方程 $$ \frac{\ln x}{x} = a $$ 的一个根，而我们知道这个方程只有两个根$x_2,x_3$。
根据大小关系（$e^{x_2} \gt x_2$）我们知道： $$ e^{x_2} = x_3 $$
同理： $$ e^{x_1} = x_2 $$ 于是： $$ \begin{aligned} &\frac{x_2}{e^{x_2}} = a = \frac{\ln x_2}{x_2}\\ \implies & x^2_2 = e^{x_2}\ln x_2\\ \implies & x^2_2 = x_3\ln(e^{x_1}) = x_1x_3 \end{aligned} $$ 证毕。