已知
椭圆$\Gamma$ $$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$ 已知$A(-a,0)$、$B(a,0)$,现有一过焦点$F(c,0)$的直线$l$交$\Gamma$于点$P$、$Q$。
证明存在常数$\lambda$使得： $$ k_{PA}+\lambda k_{QB}=0 $$
题解
韦达定理 法一
设直线$l$的方程为： $$ x=my+c $$ 和椭圆方程联立得到： $$ \frac{(my+c)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$ 也就是： $$ (\frac{m^2}{a^2}+\frac{1}{b^2})y^2+\frac{2mc}{a^2}y+\frac{c^2}{a^2}-1=0 $$ 设$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$，则 $$ \begin{aligned} &y_1y_2 = \frac{\frac{c^2}{a^2}-1}{\frac{m^2}{a^2}+\frac{1}{b^2}}\\ &y_1+y_2 = \frac{-\frac{2mc}{a^2}}{\frac{m^2}{a^2}+\frac{1}{b^2}} \end{aligned} $$
所求的$\lambda$： $$ -\lambda = \frac{k_{PA}}{k_{QB}} = \frac{y_1(x_2-a)}{y_2(x_1+a)} $$
这是一个非对称的式子，注意到： $$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$ 可以变形为： $$ \frac{y^2}{b^2}=\frac{a^2-x^2}{a^2} $$ 所以： $$ \frac{y}{a+x}=\frac{b^2}{a^2}\frac{a-x}{y} $$
这是非对称韦达定理题目中常用的技巧！
于是： $$ -\lambda = \frac{y_1(x_2-a)}{y_2(x_1+a)} = -\frac{b^2}{a^2}\frac{(x_1-a)(x_2-a)}{y_1y_2} $$
带入韦达定理立即得到： $$ \lambda = -\frac{(a-c)^2}{b^2} $$
韦达定理 法二
所求的$\lambda$： $$ -\lambda = \frac{k_{PA}}{k_{QB}} = \frac{y_1(x_2-a)}{y_2(x_1+a)} $$
我们可以直接带入$x=my+c$得到： $$ -\lambda= \frac{my_1y_2+(c-a)y_1}{my_2y_1+(c+a)y_2} $$ 利用$y_1y_2$和$y_1+y_2$之间的关系： $$ \begin{aligned} &y_1y_2 = \frac{\frac{c^2}{a^2}-1}{\frac{m^2}{a^2}+\frac{1}{b^2}}\\ &y_1+y_2 = \frac{-\frac{2mc}{a^2}}{\frac{m^2}{a^2}+\frac{1}{b^2}} \end{aligned} $$ 我们知道： $$ my_1y_2 = -\frac{a^2}{2c}(\frac{c^2}{a^2}-1)(y_1+y_2) $$
这就完成了降次
于是： $$ -\lambda= \frac{-\frac{a^2}{2c}(\frac{c^2}{a^2}-1)(y_1+y_2)+(c-a)y_1}{-\frac{a^2}{2c}(\frac{c^2}{a^2}-1)(y_1+y_2)+(c+a)y_2} $$ 消去分母： $$ -\lambda= \frac{-(c^2-a^2)(y_1+y_2)+2c(c-a)y_1}{-(c^2-a^2)(y_1+y_2)+2c(c+a)y_2} $$ 整理一下： $$ -\lambda= \frac{(a^2+c^2-2ac)y_1+(a^2-c^2)y_2}{(a^2-c^2)y_1+(a^2+c^2+2ac)y_2} $$ 提出因子： $$ -\lambda=\frac{a-c}{a+c} \cdot \frac{(a-c)y_1+(a+c)y_2}{(a-c)y_1+(a+c)y_2} $$ 所以： $$ -\lambda=\frac{a-c}{a+c} $$ 证毕。
椭圆第三定义
实际上我们知道： $$ k_{PA}k_{PB} = -\frac{b^2}{a^2} $$
实际上这就是我们之前对椭圆方程做的变形： $$ \begin{aligned} &\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ \implies &\frac{y}{a+x}=\frac{b^2}{a^2}\frac{a-x}{y}\\ \implies &\frac{y}{x+a}\cdot \frac{y}{x-a}=-\frac{b^2}{a^2} \end{aligned} $$ 为定值，且： $$ k_{PB}k_{QB} = -\frac{b^4}{a^2(a-c)^2} $$ 也是定值。 这个定值通过韦达定理不难证明
从这两个式子出发，显然有： $$ \frac{k_{PB}}{k_{QB}} = \frac{(a-c)^2}{b^2} $$