已知

x1,x2x_1,x_2ex=kxe^x = kx的两根,求kk的范围,并且证明: x1+x2>2 x_1+x_2 > 2

题解

只需要考虑y=ky=ky=exxy=\frac{e^x}{x}的交点即可,如图所示:

当且仅当k>1k\gt 1的时候,图像有两个交点。

实际上令f(x)=exxf(x)=\frac{e^x}{x},那么 f(x)=ex(x1)x2 f’(x) = \frac{e^x(x-1)}{x^2}

所以ff(,0)(-\infty, 0)单调递减,在(0,1)(0, 1)单调递减,在(1,+)(1,+\infty)单调递增。

接下来证明x1+x2>2x_1+x_2>2,这是经典的极值点偏移问题。

参数化

第一种方法是寻找一个参数同时表示x1x_1x2x_2

这里我们可以设t=x1/x2t=x_1 / x_2,那么根据: k=ex1x1=ex2x2 k = \frac{e^{x_1}}{x_1}= \frac{e^{x_2}}{x_2} 立即得到: t=x1x2=ex1ex2=ex1x2 t = \frac{x_1}{x_2} = \frac{e^{x_1}}{e^{x_2}} = e^{x_1-x_2} 所以: x1x2=logt x_1-x_2 = \log t

结合 x1/x2=t x_1 / x_2 = t 就可以解出 x1=tlogtt1x2=logtt1 \begin{aligned} x_1 = \frac{t\log t}{t-1}\\ x_2 = \frac{\log t}{t-1} \end{aligned} 那么要证明的就是: x1+x2=(t+1)logtt1>2 x_1+x_2 = \frac{(t+1)\log t}{t-1} \gt 2 利用导数不难证明 t+1t1logt>2 \frac{t+1}{t-1}\log t \gt 2 这个不等式是恒成立的。

构造函数(作对称)

另外一种经典的办法是利用函数单调性证明。

不妨假设x1<x2x_1\lt x_2,从而0<x1<1<x20\lt x_1 < 1 < x_2,这时候x2,2x1x_2,2-x_1都是大于1的,那么 f(x2)>f(2x1)    x2>2x1 f(x_2) > f(2-x_1) \iff x_2 > 2-x_1

而我们知道 f(x1)=f(x2)=k f(x_1) = f(x_2) = k 所以只需要证明: f(x1)>f(2x1) f(x_1)> f(2-x_1) 也就是 exx>e2x2x,x(0,1) \frac{e^x}{x} \gt \frac{e^{2-x}}{2-x}\quad,\forall x \in (0,1)

其实上面的问题转化过程在函数图像是显然的,我们实际上就是寻找了x1x_1关于11对称点的函数值

这个不等式的证明就很容易了:

x(0,1)\forall x \in (0,1) exx>e2x2x    xlogx>2xlog(2x) \frac{e^x}{x} \gt \frac{e^{2-x}}{2-x} \iff x-\log x \gt 2-x-\log(2-x)

g(x)=2x2logx+log(2x) g(x) = 2x-2-\log x +\log(2-x) 那么只需要证明g(x)>0g(x)\gt 0恒成立即可,求导: g(x)=21x12x=2x(2x)(2x)xx(2x)=2(x2)2x(2x)<0 g’(x) = 2-\frac{1}{x}-\frac{1}{2-x} = \frac{2x(2-x)-(2-x)-x}{x(2-x)} = \frac{-2(x-2)^2}{x(2-x)}\lt 0 所以g(x)g(x)(0,1)(0,1)上单调递减,所以 g(x)>g(1)=0 g(x) \gt g(1) = 0 恒成立,证毕。

课后习题

来自:Herself32’s Blog

网上很容易找到类似的题目,放几个在这里:

1

函数f(x)=lnx+axf(x)= \ln x+ax,如果f(x)f(x)有两个零点x1,x2x_1,x_2,求aa的范围,并且证明: x1x2>e2 x_1x_2\gt e^2

2

x1,x2x_1,x_2ex=kxe^x = kx的两根,求kk的范围,并且证明: x1+x2>2x1x2 x_1+x_2 > 2x_1x_2

3

函数f(x)=0.5x2+(1a)xlnxf(x)= 0.5 x^2+(1-a)x-\ln x,如果f(x)f(x)有两个零点x1,x2x_1,x_2,求aa的范围,并且证明: x1+x2>2 x_1+x_2 >2

4

函数f(x)=lnx+(2a)xax2f(x)=\ln x+(2-a)x-ax^2,如果f(x1)=f(x2)f(x_1)=f(x_2)并且x1x2x_1\ne x_2,证明: f(x1+x22)<0 f’(\frac{x_1+x_2}{2})\lt 0

5

函数f(x)=lnxxmf(x)=\ln x-x-m,其中m<2m\lt -2。已知f(x)f(x)有两个零点,证明: x1x22<2 x_1x_2^2\lt 2