x1,x2是ex=kx的两根,求k的范围,并且证明:
x1+x2>2
只需要考虑y=k和y=xex的交点即可,如图所示:
当且仅当k>1的时候,图像有两个交点。
实际上令f(x)=xex,那么
f’(x)=x2ex(x−1)
所以f在(−∞,0)单调递减,在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增。
接下来证明x1+x2>2,这是经典的极值点偏移问题。
参数化#
第一种方法是寻找一个参数同时表示x1和x2。
这里我们可以设t=x1/x2,那么根据:
k=x1ex1=x2ex2
立即得到:
t=x2x1=ex2ex1=ex1−x2
所以:
x1−x2=logt
结合
x1/x2=t
就可以解出
x1=t−1tlogtx2=t−1logt
那么要证明的就是:
x1+x2=t−1(t+1)logt>2
利用导数不难证明
t−1t+1logt>2
这个不等式是恒成立的。
构造函数(作对称)#
另外一种经典的办法是利用函数单调性证明。
不妨假设x1<x2,从而0<x1<1<x2,这时候x2,2−x1都是大于1的,那么
f(x2)>f(2−x1)⟺x2>2−x1
而我们知道
f(x1)=f(x2)=k
所以只需要证明:
f(x1)>f(2−x1)
也就是
xex>2−xe2−x,∀x∈(0,1)
其实上面的问题转化过程在函数图像是显然的,我们实际上就是寻找了x1关于1的对称点的函数值。
这个不等式的证明就很容易了:
∀x∈(0,1)
xex>2−xe2−x⟺x−logx>2−x−log(2−x)
令
g(x)=2x−2−logx+log(2−x)
那么只需要证明g(x)>0恒成立即可,求导:
g’(x)=2−x1−2−x1=x(2−x)2x(2−x)−(2−x)−x=x(2−x)−2(x−2)2<0
所以g(x)在(0,1)上单调递减,所以
g(x)>g(1)=0
恒成立,证毕。
课后习题#
来自:Herself32’s Blog
网上很容易找到类似的题目,放几个在这里:
函数f(x)=lnx+ax,如果f(x)有两个零点x1,x2,求a的范围,并且证明:
x1x2>e2
x1,x2是ex=kx的两根,求k的范围,并且证明:
x1+x2>2x1x2
函数f(x)=0.5x2+(1−a)x−lnx,如果f(x)有两个零点x1,x2,求a的范围,并且证明:
x1+x2>2
函数f(x)=lnx+(2−a)x−ax2,如果f(x1)=f(x2)并且x1=x2,证明:
f’(2x1+x2)<0
函数f(x)=lnx−x−m,其中m<−2。已知f(x)有两个零点,证明:
x1x22<2