已知
抛物线$\Gamma$方程为： $$ y^2 = 4x $$ 过焦点$F$的直线$l$交$\Gamma$于$A,B$两点，满足$|AF|=2|BF|$
求$l$的斜率
key
$$ k_l = \pm 2\sqrt 2 $$求$|AB|$
key
$$ |AB| = \frac{9}{2} $$
题解
设线法（韦达定理）
显然$l$的斜率非零，设斜率的倒数为$t$，那么其方程为： $$ x = ty+1 $$ 和抛物线方程联立得到： $$ y^2-4ty-4=0 $$ 不妨设$A(x_1,y_1)$以及$B(x_2,y_2)$根据韦达定理我们知道 $$ y_1+y_2 = 4t, \quad y_1y_2=-4 $$ $|AF|=2|BF|$可以推出： $$ |y_1| = 2|y_2| $$ 实际上他们一定是异号的： $$ y_1 = -2y_2 $$ 于是： $$ y_1y_2 = -2y_2^2=-4 \implies y_2=\pm\sqrt{2}, y_1=\mp 2\sqrt{2} $$ 那么 $$ y_1+y_2 = \pm\sqrt{2} $$ 根据韦达定理的两根之和关系，立即得到$l$的斜率即为： $$ k_l = \frac{1}{t} = \frac{4}{y_1+y_2} = \pm 2\sqrt{2} $$ 此外容易求得A、B的坐标是： $$ A(2,\mp 2\sqrt{2}),\quad B(\frac{1}{2}, \pm \sqrt{2}) $$ 所以 $$ |AB| = \sqrt{(2-\frac{1}{2})^2+(3\sqrt{2})^2} = \frac{9}{2} $$
设点法（解方程）
不妨设$A(x_1,y_1)$以及$B(x_2,y_2)$，那么 $$ y_1^2 = 4x_1\\ y_2^2 = 4x_2 $$ $|AF|=2|BF|$可以推出： $$ |y_1| = 2|y_2| $$ 实际上他们一定是异号的： $$ y_1 = -2y_2 $$ $AB$通过$F$点，可以知道向量共线 $$ \vec{FA} \parallel \vec{FB} $$ 于是 $$ y_2(x_1-1) = y_1(x_2-1) $$
四个方程，四个未知量： $$ y_1^2 = 4x_1\\ y_2^2 = 4x_2\\ y_1 = -2y_2\\ y_2(x_1-1) = y_1(x_2-1)\\ $$ 前三个式子可以推出： $$ x_1 = \frac{1}{4}y_1^2 = y_2^2=4x_2 $$ 最后一个式子两边平方就是： $$ y_2^2(x_1-1)^2 = y_1^2(x_2-1)^2=4y_2^2(x_2-1)^2 $$ 于是 $$ (x_1-1)^2 = 4(x_2-1)^2 $$ 也就是： $$ (4x_2-1)^2=4(x_2-1)^2 $$ 解得： $$ x_2 = \frac{1}{2} $$ 进而我们知道 $$ x_1 = 2 $$ 此时容易求得A、B的坐标是： $$ A(2,\mp 2\sqrt{2}),\quad B(\frac{1}{2}, \pm \sqrt{2}) $$
几何法（准线！）
如图所示，分别作$AE、BG$垂直于准线$x=-1$。然后反向延长$BG$，再作$AD\perp BG$交$x$轴于点$C$。
假设$|AF|=a$,$|BF|=b$那么根据抛物线的性质我们知道 $$ |AE|=|AF|=a\\ |BG|=|BF|=b $$
显然，$\mathrm{AEGD}$是矩形，所以$|DG|=|AE|=a$
那么 $$ |BD| = |DG|-|BG| = a-b $$
所以直线$l$的斜率为 $$ \tan \angle ABD = \frac{\sqrt{AB^2-BD^2}}{BD} = \sqrt{\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{(a-b)^2}} $$
也就是 $$ k_l = \pm\sqrt{\frac{4ab}{(a-b)^2}} $$
根据对称性，正负都可以取
此外，显然有相似三角形：
$$ \triangle ABD \sim \triangle AFC $$
所以 $$ \frac{FC}{BD} = \frac{AF}{AB} = \frac{a}{a+b} $$
所以 $$ FC = \frac{a(a-b)}{a+b} $$
所以焦准距 $$ p = CH-FC = a- \frac{a(a-b)}{a+b} = \frac{2ab}{a+b} $$
目前为止，我们还没有使用题设，只是推导了最一般的情况。实际上，这个方法对椭圆和双曲线同样适用。
带入题设条件： $$ a=2b $$
我们知道： $$ k_l = \pm 2\sqrt{2} $$ 以及 $$ p = \frac{4b^2}{3b} = 2 $$ 也就是 $$ b = \frac{3}{2}, \quad a=3 $$ 所以 $$ |AB| = a+b = \frac{9}{2} $$