已知
函数： $$ f(x) = \log_2x \quad x>0,\quad |2x+1|\quad x \le 0 $$ 若对任意$a\le -1$，当$-1 < b\le m $时都有 $$ a(f(b)-1)\ge b $$ 成立，求m的最大值。
题解
$f(x)$的图像比较简单：
初步范围确定
$$ a(f(b)-1)\ge b $$
恒成立，根据题设$a$一定是负数，那么：
$$ f(b)-1 \le \frac{b}{a} $$
恒成立。
显然$b$不能取得很大，否则左边是正的，右边是负的，不等式就不成立了。
例如，$b$肯定不能取到$2$，这时候左侧是0:
$$ f(2)-1 = 0 \le \frac{2}{a} $$
这个式子无论如何也不成立。所以$m\lt 2$，这是最基本的上界。
参变分离
这时候我们知道：
$$ \forall -1\lt b \le m \lt 2, \quad f(b)-1 \lt 0 $$
所以：
$$ a(f(b)-1)\ge b \iff a\le \frac{b}{f(b)-1} $$
就实现两个参数的分离了。
最值问题
要上式恒成立，只需要： $$ a_{\max}\le \left(\frac{b}{f(b)-1}\right)_{\min} $$
也就是在$-1\lt b \le m \lt 2$的时候： $$ \left(\frac{b}{f(b)-1}\right)_{\min} \ge -1 $$
显然，这个最小值在$0\lt b \le m \lt 2$取，因为负半轴这个函数都是大于0的。
这样函数的表达式就直接确定了：
$$ \left(\frac{b}{\log_2b-1}\right)_{\min} \ge -1 $$
导数
求个导数： $$ \left(\frac{b}{\log_2b-1}\right)’ = \frac{\log_2b-1-\frac{1}{\ln 2}}{(\log_2b-1)^2} = \frac{\ln b - \ln 2 - 1}{\ln 2(\log_2b-1)^2} $$
显然，在$0\lt b \le m \lt 2$导数小于零，原函数单调递减。
所以原函数最小值在$m$取到，原恒成立问题等价于：
其实闭着眼都知道这个最小值肯定是在m取到。否则$m\lt 2$没有其他的约束条件，就不存在最大值了。
$$ \frac{m}{\log_2m-1}\ge -1 $$
函数单调性
这个不等式可以利用函数单调性+瞪眼法轻松求解：
$$ \frac{m}{\log_2m-1}\ge -1 = \frac{1}{\log_21-1} $$
所以： $$ m \le 1 $$
综上，m的最大值是1