已知
方程 $$ f(x)=x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0 $$ 有四个根$z_1,z_2,z_3,z_4$，并且这四个根在复平面上恰好是某个单位圆内接正方形的顶点。问在1到2024的范围内，有多少个互不相等的整数组合$\{a_0,a_1,a_2,a_3\}$可以满足条件？
题解
实系数方程取共轭依然为0： $$ f(x)=0 \iff f(\bar x) = 0 $$
所以方程的四个根要么是实根，要么是成对出现的共轭复根。
所以方程的四个根在复平面上一定关于实数轴对称（要么本身在实轴上，要么共轭——也就是关于实轴对称）。
根据题设，四个根恰好是某个单位圆内接正方形的顶点，所以根的分布要么是：
要么是：
不妨设单位圆的圆形是$(a,0)$。
Case1
这时候，不难发现$z_{1,2,3,4}$就是下面方程的四个根： $$ (z-a)^4=1 $$
把单位圆左移到原点，那么四个根其实就是1的四次方根。
直接展开就得到： $$ z^4-4az^3+6a^2z^2-4a^3z+a^4-1=0 $$
所以： $$ \begin{aligned} &a_0 = a^4-1\\ &a_1 = -4a^3\\ &a_2 = 6a^2\\ &a_3 = -4a \end{aligned} $$
Case2
这时候，不难发现$z_{1,2,3,4}$就是下面方程的四个根： $$ (\phi (z-a))^4=1, \quad \phi = e^{\frac{\pi}{4}i} = \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i $$
我们知道$\phi^4=-1$，所以这方程可以化简为： $$ (z-a)^4=-1 $$ 直接展开就得到： $$ z^4-4az^3+6a^2z^2-4a^3z+a^4+1=0 $$
所以： $$ \begin{aligned} &a_0 = a^4+1\\ &a_1 = -4a^3\\ &a_2 = 6a^2\\ &a_3 = -4a \end{aligned} $$
其实一些同学来说，还是很难发现的？
实际上，从我们之前的Case1出发，这里的根就是以$(a,0)$为圆心旋转了$\frac{\pi}{4}$。这在复平面上就对应于乘以$\phi = \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$
又或者，我们从单位圆八等分点的角度来理解： $$ (z-a)^8=1 $$ 有两组解： $$ (z-a)^4=\pm 1 $$ 分别对应于我们这里的Case1和Case2
最后一步
综上所述：
$$ \begin{aligned} &a_0 = a^4\pm1\\ &a_1 = -4a^3\\ &a_2 = 6a^2\\ &a_3 = -4a \end{aligned} $$
结合1-2024的范围，很容易知道$a$取值只能是$-2,-3,-4,-5,-6$，因此总计只有十组$\{a_0,a_1,a_2,a_3\}$可以满足条件。