又是三次函数

已知

$a\in \mathbb{R}$，对任意$x\gt 0$都有 $$ \left((a-1)x-1\right)(x^2-ax-1)\ge 0 $$ 求a的值。

首先$a\ne 1$，带入检验一下就发现不成立了。

所以这是一个三次函数问题。

其次，我们发现 $$ x^2-ax-1=0 $$ 一定有不等实数根。再加上另外一个根 $$ x=\frac{1}{a-1} $$

所以三次函数要么有三个不等根，要么有二重实数根。

严格来说应该是零点，我就混着说了

$$ \left((a-1)x-1\right)(x^2-ax-1)\ge 0 $$ 再次，这个不等式要在$x\gt 0$恒成立，所以$a-1\gt 0$，否则正无穷一定不成立。

综上所述，我们可以确定函数图像的一些性质： $$ f(x)=\left((a-1)x-1\right)(x^2-ax-1) $$

结合这三点，我们知道：函数肯定不能是三个不等的零点：

这种情况下，$x>0$的范围内$f(x)$肯定有取值为负的部分。

所以$f(x)$存在重根。

也就是说：

$$ \frac{1}{a-1} $$

是 $$ x^2-ax-1=0 $$ 的根。

带入得到： $$ \frac{1}{(a-1)^2} - \frac{a}{a-1} - 1 = 0 $$

也就是： $$ 1- a(a-1)-(a-1)^2=0 $$

整理一下： $$ 2a^2-3a=0 $$ 结合$a-1\gt 0$的条件，得到： $$ a = 1.5 $$

这时候图像恰和x轴相切：