全概率公式

已知

考虑小A打游戏的问题。

• 如果小A某一天没打游戏，那么第二天打游戏的概率为0.5
• 如果小A某一天打了游戏，那么第二天继续打游戏的概率为0.4

假设第0天小A没打游戏，问第n天小A打游戏的概率$P_n$是多少？

题解

第n天打游戏的概率实际上取决于前一天打没打游戏。

我们可以使用Bayes全概率公式：

$$\begin{aligned} P_n = &P(\text{第n天打游戏}\mid \text{第n-1天打游戏})P(\text{第n-1天打游戏}) \\ &+ P(\text{第n天打游戏}\mid \text{第n-1天没打游戏})P(\text{第n-1天没打游戏}) \end{aligned}$$

于是得到递推公式： $$P_n = 0.4P_{n-1}+0.5(1-P_{n-1})$$ 也就是： $$P_n = 0.5-0.1P_{n-1}$$ 这种类型的递推公式可以考虑两边同时除以$(-0.1)^n$： $$\frac{P_n}{(-0.1)^n} = \frac{0.5}{(-0.1)^n} + \frac{P_{n-1}}{(-0.1)^{n-1}}$$

所以： $$\frac{P_n}{(-0.1)^n} - \frac{P_{n-1}}{(-0.1)^{n-1}} = \frac{0.5}{(-0.1)^n}$$ 直接两边累加得到： $$\begin{aligned} &\left[\frac{P_n}{(-0.1)^n} - \frac{P_{n-1}}{(-0.1)^{n-1}}\right] \\ &+ \left[\frac{P_{n-1}}{(-0.1)^{n-1}} - \frac{P_{n-2}}{(-0.1)^{n-2}}\right]\\ &+\cdots+\left[\frac{P_2}{(-0.1)^2} - \frac{P_{1}}{(-0.1)^{1}}\right] \\ &= \sum_{k=2}^n \frac{0.5}{(-0.1)^k}\\ &=\frac{50(1-(-10)^{n-1})}{11} \end{aligned}$$ 也就是： $$\frac{P_n}{(-0.1)^n} +10P_1 = \frac{50+5\cdot (-10)^{n}}{11}$$ 最终得到： $$P_n = \frac{5 - 5\cdot (-0.1)^n}{11}$$

另外一题

其实此类题非常多，再举一例读者可以动手算一算：

棋盘上标有第$0,1,2\cdots,100$站。棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币来走跳棋。

• 如果抛出正面，棋子前进两站
• 如果抛出反面，棋子前进一站

走到100或者99站的时候游戏结束。

求游戏过程中，棋子经过第n站的概率$P_n,\quad n\le 1 \le 100$。

这里经过的含义是棋子恰好位于第n站。在一次跳两站的情况下，有概率不经过第n站。所以这个概率小于一。