三根切线

已知

$f(x)=x^3-mx$有三根切线过$(2,0)$的切线，切点的横坐标成等差数列，求$m$的值

题解

在$x_0$处切线方程为： $$ y-f(x_0) = f’(x_0)(x-x_0) $$

带入$(2,0)$也就是： $$ -x_0^3+mx_0 = (3x_0^2-m)(2-x_0) $$ 展开得到： $$ x_0^3-3x_0^2+m=0 $$

根据题意，该方程有三个成等差数列的根（不妨假设$x_1+x_3=2x_2$），利用韦达定理立即得到： $$ x_1+x_2+x_3 = 3x_2 = 3 $$ 所以$x_2=1$是一个根，带入方程立即得到： $$ m=2 $$