已知
椭圆方程： $$ 4x^2+y^2=1 $$ $P,Q$是椭圆上动点，$O$是坐标原点，并且$OP\perp OQ$。
证明：$O$到$PQ$距离为定值。
题解
设线
在$PQ$斜率存在的情况下，设其方程为$y=kx+t$，和椭圆方程联立：
$$ 4x^2 + (kx+t)^2 = 1 $$ 也就是： $$ (k^2+4)x^2+2ktx+t^2-1=0 $$
设坐标$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$，那么： $$ \begin{aligned} &x_1+x_2 = \frac{-2kt}{k^2+4}\\ &x_1x_2 = \frac{t^2-1}{k^2+4}\\ &y_1y_2 = k^2x_1x_2+kt(x_1+x_2)+t^2=\frac{4t^2-k^2}{k^2+4} \end{aligned} $$
$OP\perp OQ$，所以： $$ x_1x_2+y_1y_2=0 $$ 也就是： $$ 5t^2-1-k^2=0 $$ 所以O到PQ距离为： $$ d = \frac{|t|}{\sqrt{1+k^2}} = \frac{\sqrt{5}}{5} $$
当然，PQ斜率不存在的时候也可以验证这个距离不变。
设点
依然假设$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$并且$d$是O到PQ距离。
那么我们有下列三个关系式： $$ \begin{aligned} &4x_1^2+y_1^2=1\\ &4x_2^2+y_2^2=1\\ &x_1x_2+y_1y_2=0 \end{aligned} $$
💡后续我们会证明，实际上这三个关系式可以推出：$\color{blue}x_1^2+x_2^2 = \frac{1}{4}+\frac{15}{4}x_1^2x_2^2$，这就是设点法的关键。
并且我们知道：
如果你不知道，可以去搜一下三角形面积公式的行列式表示。
$$ S_{\triangle OPQ} = \frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1| = \frac{1}{2}\cdot d\cdot |PQ| $$
所以： $$ d^2 = \frac{(x_1y_2-x_2y_1)^2}{|PQ|^2} $$
带入两点距离公式： $$ \begin{aligned} &d^2 \\ =& \frac{(x_1y_2-x_2y_1)^2}{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\\ =& \frac{x_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2-2x_1x_2y_1y_2}{x_1^2+x_2^2-2x_1x_2+y_1^2+y_2^2-2y_1y_2} \end{aligned} $$
带入$x_1x_2= -y_1y_2,y_1^2=1-4x_1^2,y_2^2=1-4x_2^2$得到： $$ \begin{aligned} &d^2 \\ =& \frac{x_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2+2x_1^2x_2^2}{x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2}\\ =& \color{red}\frac{x_1^2+x_2^2-6x_1^2x_2^2}{2-3(x_1^2+x_2^2)} \end{aligned} $$
💡注意到（两点满足椭圆方程，相乘就得到）： $$ (4x_1^2+y_1^2)(4x_2^2+y_2^2)=1 $$ 所以： $$ 16x_1^2x_2^2+y_1^2y_2^2 + 4(x_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2)=1 $$ （利用$x_1x_2= -y_1y_2$）得到： $$ x_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2 = \frac{1}{4}-\frac{17}{4}x_1^2x_2^2 $$ （利用$y_1^2=1-4x_1^2,y_2^2=1-4x_2^2$）得到： $$ x_1^2+x_2^2-8x_1^2x_2^2 = \frac{1}{4}-\frac{17}{4}x_1^2x_2^2 $$ 所以： $$ \color{blue} x_1^2+x_2^2 = \frac{1}{4}+\frac{15}{4}x_1^2x_2^2 $$
把这个结果代入上面红色的式子，就可以得到： $$ \begin{aligned} &d^2 \\ =& \color{red}\frac{x_1^2+x_2^2-6x_1^2x_2^2}{2-3(x_1^2+x_2^2)}\\ =&\frac{\frac{1}{4}+\frac{15}{4}x_1^2x_2^2-6x_1^2x_2^2}{2-3(\frac{1}{4}+\frac{15}{4}x_1^2x_2^2)}\\ =&\frac{\frac{1}{4}-\frac{9}{4}x_1^2x_2^2}{\frac{5}{4}-\frac{45}{4}x_1^2x_2^2}\\ =&\frac{1}{5} \end{aligned} $$
证毕。
虽然看起来设点法很复杂，但是解题过程非常套路化，熟练的情况下也很简单。