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已知 抛物线$\Gamma$方程为$y^2=4x$，焦点为$F$。直线$l$过焦点交$\Gamma$于A、B两点。C是抛物线上动点，$AC$、$BC$分别交抛物线的准线于D、E。 求证： $$ \overrightarrow{OE} \cdot \overrightarrow{OD} = -3 $$ 为定值。 ...

已知 椭圆方程： $$ 4x^2+y^2=1 $$ $P,Q$是椭圆上动点，$O$是坐标原点，并且$OP\perp OQ$。 证明：$O$到$PQ$距离为定值。 ...

已知 考虑小A打游戏的问题。 如果小A某一天没打游戏，那么第二天打游戏的概率为0.5 如果小A某一天打了游戏，那么第二天继续打游戏的概率为0.4 假设第0天小A没打游戏，问第n天小A打游戏的概率$P_n$是多少？ ...

已知 本题来自2025上海春考 半椭圆$\Gamma$: $$ \frac{x^2}{4}+y^2=1\quad (y\ge 0) $$ 上有两个动点$P,Q$，点$T$的坐标是$(t,0)$。 当$\triangle PQT$是以$T$为直角顶点的等腰直角三角形时，求实数$t$的取值范围。 ...

已知 $x_1,x_2$是$e^x = kx$的两根，求$k$的范围，并且证明： $$ x_1+x_2 > 2 $$ ...

已知 方程 $$ f(x)=x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0 $$ 有四个根$z_1,z_2,z_3,z_4$，并且这四个根在复平面上恰好是某个单位圆内接正方形的顶点。问在1到2024的范围内，有多少个互不相等的整数组合$\{a_0,a_1,a_2,a_3\}$可以满足条件？ ...

已知 $f(x)=x^3-mx$有三根切线过$(2,0)$的切线，切点的横坐标成等差数列，求$m$的值 ...

已知 $f(x)=xe^{-x}$以及$g(x)=x^{-1}\ln x$ 如果$y=a$和$y=f(x)$以及$y=g(x)$共有三个交点$(x_1,a), (x_2,a), (x_3,a)$ 且$ x_1 \lt x_2 \lt x_3 $ 证明： $$ x^2_2 = x_1x_3 $$ ...

已知 椭圆$\Gamma$ $$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$ 已知$A(-a,0)$、$B(a,0)$,现有一过焦点$F(c,0)$的直线$l$交$\Gamma$于点$P$、$Q$。 证明存在常数$\lambda$使得： $$ k_{PA}+\lambda k_{QB}=0 $$ ...

已知 数列$a_n$是$1,2,3,\cdots,n$的一个排列，如果有且仅有一个$1 \le i \le n-1$满足 $$ a_i> a_{i+1} $$ 那么这样的排列有多少个？ ...