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已知 抛物线$\Gamma$方程为： $$ y^2 = 4x $$ 过焦点$F$的直线$l$交$\Gamma$于$A,B$两点，满足$|AF|=2|BF|$ 求$l$的斜率 key $$ k_l = \pm 2\sqrt 2 $$ 求$|AB|$ key $$ |AB| = \frac{9}{2} $$ 题解 设线法（韦达定理） 显然$l$的斜率非零，设斜率的倒数为$t$，那么其方程为： $$ x = ty+1 $$ 和抛物线方程联立得到： $$ y^2-4ty-4=0 $$ 不妨设$A(x_1,y_1)$以及$B(x_2,y_2)$根据韦达定理我们知道 $$ y_1+y_2 = 4t, \quad y_1y_2=-4 $$ $|AF|=2|BF|$可以推出： $$ |y_1| = 2|y_2| $$ 实际上他们一定是异号的： $$ y_1 = -2y_2 $$ 于是： $$ y_1y_2 = -2y_2^2=-4 \implies y_2=\pm\sqrt{2}, y_1=\mp 2\sqrt{2} $$ 那么 $$ y_1+y_2 = \pm\sqrt{2} $$ 根据韦达定理的两根之和关系，立即得到$l$的斜率即为： $$ k_l = \frac{1}{t} = \frac{4}{y_1+y_2} = \pm 2\sqrt{2} $$ 此外容易求得A、B的坐标是： $$ A(2,\mp 2\sqrt{2}),\quad B(\frac{1}{2}, \pm \sqrt{2}) $$ 所以 $$ |AB| = \sqrt{(2-\frac{1}{2})^2+(3\sqrt{2})^2} = \frac{9}{2} $$ ...

已知 $$ x+y+z = 5 $$ 和 $$ xy+yz+xz = 3 $$ 求$z$的范围 题解 二次方程韦达定理 把$z$视为参数： $$ x+y = 5-z\\ xy = 3-z(x+y) = 3-z(5-z) $$ 于是$x,y$是下述方程的两个根： $$ t^2-(5-z)t+3-z(5-z)=0 $$ 只要$z$的取值范围使得此方程有解即可找到满足题设的$x,y$，令 $$ \Delta = (5-z)^2-4(3-z(5-z))\ge 0 $$ 即可解得： $$ z \in [-1,\frac{13}{3}] $$ 三次方程韦达定理 设 $$ xyz = \theta $$ 那么$x,y,z$是方程 $$ f(t) = t^3-5t^2+3t=\theta $$ 的三个根： 如图所示，绿色是$f(t)$的图像，黑色是$z$取最大值时$\theta$的位置，紫色时最小值时$\theta$的位置。 令： $$ f’(t) = 3t^2-10t+3=0 $$ 得到极值点： $$ t_1 = 3,\quad t_2=\frac{1}{3} $$ ...