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已知 第一象限内，双曲线$x^2-y^2=2$上有一点$P(x_0,y_0)$，双曲线左右焦点分别为$F_1$和$F_2$证明： $$ x_0 = \frac{|PF_1|+|PF_2|}{|PF_1|-|PF_2|} $$ 此外，假设$PF_2$延长线交双曲线于$Q$点，且 $$ \vec{PF_2} = \lambda \vec{F_2}Q $$ $N$在$PF_1$上并且$PN=PF_2$，求 $$ S_{\triangle PQF_1} / S_{\triangle PNF_2} + \lambda $$ 的最小值。 ...

已知 四面体ABCD满足，角BAC=角ACD、角ABD=角BDC，证明： $$ AB=CD $$ 一定成立，且 $$ AC=BD $$ 未必成立。 ...

已知 过$P(a,b)$的直线$l$和抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$相交于$A,B$两点，如果在抛物线上存在一点$C$满足 $$ CA \perp CB $$ 对任意的直线$l$恒成立，求P点坐标满足的条件。 ...

已知 $a\in \mathbb{R}$，对任意$x\gt 0$都有 $$ \left((a-1)x-1\right)(x^2-ax-1)\ge 0 $$ 求a的值。 ...

已知 函数： $$ f(x) = \log_2x \quad x>0,\quad |2x+1|\quad x \le 0 $$ 若对任意$a\le -1$，当$-1 < b\le m $时都有 $$ a(f(b)-1)\ge b $$ 成立，求m的最大值。 ...

已知 抛物线$\Gamma$方程为$y^2=4x$，焦点为$F$。直线$l$过焦点交$\Gamma$于A、B两点。C是抛物线上动点，$AC$、$BC$分别交抛物线的准线于D、E。 求证： $$ \overrightarrow{OE} \cdot \overrightarrow{OD} = -3 $$ 为定值。 ...

已知 椭圆方程： $$ 4x^2+y^2=1 $$ $P,Q$是椭圆上动点，$O$是坐标原点，并且$OP\perp OQ$。 证明：$O$到$PQ$距离为定值。 ...

已知 考虑小A打游戏的问题。 如果小A某一天没打游戏，那么第二天打游戏的概率为0.5 如果小A某一天打了游戏，那么第二天继续打游戏的概率为0.4 假设第0天小A没打游戏，问第n天小A打游戏的概率$P_n$是多少？ ...

已知 本题来自2025上海春考 半椭圆$\Gamma$: $$ \frac{x^2}{4}+y^2=1\quad (y\ge 0) $$ 上有两个动点$P,Q$，点$T$的坐标是$(t,0)$。 当$\triangle PQT$是以$T$为直角顶点的等腰直角三角形时，求实数$t$的取值范围。 ...

已知 $x_1,x_2$是$e^x = kx$的两根，求$k$的范围，并且证明： $$ x_1+x_2 > 2 $$ ...